Cualquiera que haya observado una pelota de béisbol en
movimiento (o cualquier objeto lanzado al aire) ha observado el movimiento de
proyectiles. Esta forma muy común de movimiento es sorprendentemente simple de
analizar si se hacen las siguientes dos suposiciones:
1. La aceleración de caída libre, g, es constante en todo
el intervalo de movimiento y está dirigida hacia abajo.
2. El efecto de la resistencia del aire puede ignorarse.
Con estas suposiciones, se encuentra que la curva que
describe un proyectil, y que se conoce como su trayectoria, siempre es una
parábola.
Si elegimos un sistema de coordenadas tal que la dirección
y apunte en dirección vertical y positiva hacia arriba, entonces y a = -g, y x
a = 0.
Supóngase también que en t = 0, el proyectil tiene la
posición inicial dada por el vector (x0, y0) y una velocidad inicial cuya magnitud
es v0, Además, el vector velocidad inicial v0 forma un ángulo θ0 con la horizontal,
donde θ0 es el ángulo de disparo del proyectil.
Sustituyendo estas expresiones en
las ecuaciones de movimiento (1.7) y (1.8) y considerando que y a = -g, y x a =
0, se obtienen las ecuaciones para la velocidad y la posición del proyectil
para cualquier tiempo t:
En la primera de estas cuatro ecuaciones, se ve que la
velocidad horizontal permanece constante debido a que en esa dirección la
aceleración es cero. En cambio, la velocidad vertical primeramente es positiva
y comienza a disminuir hasta que se hace cero y luego cambia de dirección
apuntando hacia abajo.
Véase la figura 4, donde se muestra el caso de un
proyectil que es lanzado desde el origen con velocidad inicial de 50 m/s y un
ángulo de disparo de 60o.
Si se elimina el tiempo t de las dos últimas ecuaciones
se encuentra la ecuación del proyectil en el plano la cual es válida para
ángulos de disparo en el intervalo 0 0 < θ < π/2 . Cuando el proyectil es
disparado desde el origen (x0 = y0 = 0), esta expresión es de la forma y = ax
-bx2, que representa la ecuación de una parábola que pasa por el origen.
Nótese que la trayectoria está completamente especificada
si se conocen v0 y θ0.
Obsérvese que el movimiento de una partícula en dos
dimensiones puede considerarse como la superposición del desplazamiento debido
a la velocidad inicial, v0t, y el término gt2/2 , debido a la gravedad. En
otras palabras, si no hubiera aceleración gravitacional, la partícula continuaría
moviéndose a lo largo de una trayectoria recta en la dirección de v0. En
consecuencia, la distancia vertical gt2/2 , a través de la cual la partícula
"cae " de la línea de la trayectoria recta, es la misma distancia que
recorrería un cuerpo que cae libremente durante el mismo intervalo de tiempo.
Véase la figura 5.(x, y)
Concluimos que el movimiento de proyectiles es la
superposición de dos movimientos:
• Un movimiento con velocidad constante en la dirección
horizontal y
• Un movimiento de una partícula que cae libremente en la
dirección vertical bajo aceleración constante.
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